A linear integral question.?

(My way)

40x+68y+19z=300=>

z=(300-40x-68y)/19=>

z=15-2x-3y+[15-(2x+11y)]/19=>

z=15-2x-3y+[15-t]/19, where t=2x+11y,=>

z=15-2x-3y-k1 {(15-t)/19 is an integer=>t=15(mod 19)=>

.........................t=15+19k1, k1 is an integer}

15+19k1=2x+11y=>

y=1+k1+[4+(8k1-2x)]/11=>

y=1+k1+(4+s)/11, where s=8k1-2x,=>

y=2+k1+k2 {(4+s)/11 is an integer=>s=7(mod 11)=>

....................s=7+11k2, k2 is an integer}

2x=8k1-s=>

x=4k1-(7+11k2)/2=>

x=4k1-9-11k3 {(7+11k2)/2 is an integer=>k2=1(mod 2)=>

........................k2=1+2k3, k3 is an integer}

y=2+k1+k2=>

y=3+k1+2k3=>

z=24-12k1+16k3

Thus, the G.S. is

x=4k1-11k3-9>=0-------(1)

y=k1+2k3+3>=0---------(2)

z=-12k1+16k3+24>=0------(3)

In the diagram below, the feasible integral

solution is found to be k1=0, k3=-1 inside

the region ABC which is formed by the

boundary lines of (1), (2) & (3).

So, x=2, y=1 & z=8 is the only choice

for Stephen.

I'm going to assume that jacket and shirt are interchangeable here.

40x + 68y + 19z = 300

68y + 40x + 19z = 300

4 < 300/68 < 5

4 * 68 = 240 + 32 = 272

3 * 68 = 204

2 * 68 = 136

1 * 68 = 68

0 * 68 = 0

(shirts, shoes, jeans , change)

(0 , 0 , 0 , 300)

(0 , 0 , 1 , 281)

(0 , 0 , 2 , 262)

(0 , 0 , 3 , 243)

(0 , 0 , 4 , 224)

(0 , 0 , 5 , 205)

(0 , 0,  6 , 186)

(0 , 0 , 7 , 167)

(0 , 0 , 8 , 148)

(0 , 0 , 9 , 129)

(0 , 0 , 10 , 110)

(0 , 0 , 11 , 91)

(0 , 0 , 12 , 72)

(0 , 0 , 13 , 53)

(0 , 0 , 14 , 34)

(0 , 0 , 15 , 15)

(0 , 1 , 0 , 260)

(0 , 1 , 1 , 241)

(0 , 1 , 2 , 222)

(0 , 1 , 3 , 203)

(0 , 1 , 4 , 184)

(0 , 1 , 5 , 165)

(0 , 1 , 6 , 146)

(0 , 1 , 7 , 127)

(0 , 1 , 8 , 108)

(0 , 1 , 9 , 89)

(0 , 1 , 10 , 70)

(0 , 1 , 11 , 51)

(0 , 1 , 12 , 32)

(0 , 1 , 13 , 13)

(0 , 2 , 0 , 220)

(0 , 2 , 1 , 201)

(0 , 2 , 2 , 182)

(0 , 2 , 3 , 163)

(0 , 2 , 4 , 144)

(0 , 2 , 5 , 125)

(0 , 2 , 6 , 106)

(0 , 2 , 7 , 87)

(0 , 2 , 8 , 68)

(0 , 2 , 9 , 49)

(0 , 2 , 10 , 30)

(0 , 2 , 11 , 11)

(0 , 3 , 0 , 180)

(0 , 3 , 1 , 161)

(0 , 3 , 2 , 142)

(0 , 3 , 3 , 123)

(0 , 3 , 4 , 104)

(0 , 3 , 5 , 85)

(0 , 3 , 6 , 66)

(0 , 3 , 7 , 47)

(0 , 3 , 8 , 28)

(0 , 3 , 9 , 9)

(0 , 4 , 0 , 140)

(0 , 4 , 1 , 121)

(0 , 4 , 2 , 102)

(0 , 4 , 3 , 83)

(0 , 4 , 4 , 64)

(0 , 4 , 5 , 45)

(0 , 4 , 6 , 26)

(0 , 4 , 7 , 7)

(0 , 5 , 0 , 100)

(0 , 5 , 1 , 81)

(0 , 5 , 2 , 62)

(0 , 5 , 3 , 43)

(0 , 5 , 4 , 24)

(0 , 5 , 5 , 5)

(0 , 6 , 0 , 60)

(0 , 6 , 1 , 41)

(0 , 6 , 2 , 22)

(0 , 6 , 3 , 3)

(0 , 7 , 0 , 20)

(0 , 7 , 1 , 1)

(1 , 0 , 0 , 332)

(1 , 0 , 1 , 313)

(1 , 0 , 2 , 294)

(1 , 0 , 3 , 275)

(1 , 0 , 4 , 256)

(1 , 0 , 5 , 237)

(1 , 0 , 6 , 218)

(1 , 0 , 7 , 199)

(1 , 0 , 8 , 180)

(1 , 0 , 9 , 161)

(1 , 0 , 10 , 142)

(1 , 0 , 11 , 123)

(1 , 0 , 12 , 104)

(1 , 0 , 13 , 85)

(1 , 0 , 14 , 66)

(1 , 0 , 15 , 47)

(1 , 0 , 16 , 28)

(1 , 0 , 17 , 9)

(1 , 1 , 0 , 292)

(1 , 1 , 1 , 273)

(1 , 1 , 2 , 254)

(1 , 1 , 3 , 235)

(1 , 1 , 4 , 216)

(1 , 1 , 5 , 197)

(1 , 1 , 6 , 178)

(1 , 1 , 7 , 159)

(1 , 1 , 8 , 140)

(1 , 1 , 9 , 121)

(1 , 1 , 10 , 102)

(1 , 1 , 11 , 83)

(1 , 1 , 12 , 64)

(1 , 1 , 13 , 45)

(1 , 1 , 14 , 26)

(1 , 1 , 15 , 7)

(1 , 2 , 0 , 252)

(1 , 2 , 1 , 233)

(1 , 2 , 2 , 214)

(1 , 2 , 3 , 195)

(1 , 2 , 4 , 176)

(1 , 2 , 5 , 157)

(1 , 2 , 6 , 138)

(1 , 2 , 7 , 119)

(1 , 2 , 8 , 100)

(1 , 2 , 9 , 81)

(1 , 2 , 10 , 62)

(1 , 2 , 11 , 43)

(1 , 2 , 12 , 24)

(1 , 2 , 13 , 5)

(1 , 3 , 0 , 212)

(1 , 3 , 1 , 193)

(1 , 3 , 2 , 174)

(1 , 3 , 3 , 155)

(1 , 3 , 4 , 136)

(1 , 3 , 5 , 117)

(1 , 3 , 6 , 98)

(1 , 3 , 7 , 79)

(1 , 3 , 8 , 60)

(1 , 3 , 9 , 41)

(1 , 3 , 10 , 22)

(1 , 3 , 11 , 3)

(1 , 4 , 0 , 172)

(1 , 4 , 1 , 153)

(1 , 4 , 2 , 134)

(1 , 4 , 3 , 115)

(1 , 4 , 4 , 96)

(1 , 4 , 5 , 77)

(1 , 4 , 6 , 58)

(1 , 4 , 7 , 39)

(1 , 4 , 8 , 20)

(1 , 4 , 9 , 1)

(1 , 5 , 0 , 132)

(1 , 5 , 1 , 113)

(1 , 5 , 2 , 94)

(1 , 5 , 3 , 75)

(1 , 5 , 4 , 56)

(1 , 5 , 5 , 37)

(1 , 5 , 6 , 18)

(1 , 6 , 0 , 92)

(1 , 6 , 1 , 73)

(1 , 6 , 2 , 54)

(1 , 6 , 3 , 35)

(1 , 6 , 4 , 16)

(1 , 7 , 0 , 92)

(1 , 7 , 1 , 73)

(1 , 7 , 2 , 54)

(1 , 7 , 3 , 35)

(1 , 7 , 4 , 16)

(1 , 8 , 0 , 52)

(1 , 8 , 1 , 33)

(1 , 8 , 2 , 14)

(1 , 9 , 0 , 12)

(2 , 0 , 0 , 164)

(2 , 0 , 0 , 145)

(2 , 0 , 0 , 126)

(2 , 0 , 0 , 107)

(2 , 0 , 0 , 88)

(2 , 0 , 0 , 69)

(2 , 0 , 0 , 50)

(2 , 0 , 0 , 31)

(2 , 0 , 0 , 12)

(2 , 1 , 0 , 124)

(2 , 1 , 1 , 105)

(2 , 1 , 2 , 86)

(2 , 1 , 3 , 67)

(2 , 1 , 4 , 48)

(2 , 1 , 5 , 29)

(2 , 1 , 6 , 10)

(2 , 2 , 0 , 84)

(2 , 2 , 1 , 65)

(2 , 2 , 2 , 46)

(2 , 2 , 3 , 27)

(2 , 2 , 4 , 8)

(2 , 3 , 0 , 44)

(2 , 3 , 1 , 25)

(2 , 3 , 2 , 6)

(3 , 0 , 0 , 96)

(3 , 0 , 1 , 77)

(3 , 0 , 2 , 58)

(3 , 0 , 3 , 39)

(3 , 0 , 4 , 20)

(3 , 0 , 5 , 1)

(3 , 1 , 0 , 56)

(3 , 1 , 1 , 37)

(3 , 1 , 2 , 18)

(3 , 2 , 0 , 16)

(4 , 0 , 0 , 28)

(4 , 0 , 1 , 9)

Looks like 199 distinct solutions to me.

Stephen decides to spend up $300 to buy x pairs of shoes, y shirts & z jeans. 

A pair of shoes costs $40; a jacket $68 & a jean $19. 

How many of each of the items can he buy?

40x + 68y + 19z = 300